물리학

단진동과 공명

용수철·진자, 에너지 교환, 감쇠, 강제진동과 공명.

기초

단진동

복원력이 변위에 비례하고 반대이면 (훅의 법칙) 운동은 사인·코사인입니다. 용수철 ω = √(k/m), 작은 각 진자는 √(g/ℓ). 주기 T=2π/ω 는 진폭과 무관합니다(이상). 위상은 언제 최댓값인지를 정합니다. 실제 용수철은 큰 진폭에서 비선형이 됩니다. 시계와 소리의 기본이 이 운동입니다.

에너지 교환

위치에너지 (1/2)kx² 와 운동에너지 (1/2)mv² 가 오가며 합은 (1/2)kA² 로 일정합니다(마찰 없을 때). 가운데에서 속도가 최대, 끝에서 0입니다. 위상 공간에서 타원을 그립니다. 감쇠가 있으면 나선형으로 원점으로 갑니다. 측정의 진폭은 에너지의 제곱근에 비례합니다.

감쇠

속도에 비례하는 끌림이 있으면 진폭이 지수로 줄어듭니다. 약감쇠는 진동하며 죽고, 과감쇠는 진동 없이 돌아가며, 임계감쇠는 가장 빨리 평형에 앉습니다(문 완충기). Q가 높으면 오래 울리고 공명이 뾰족합니다. 자동차 서스펜션은 임계 근처에 맞춥니다.

강제진동과 공명

주기적인 힘으로 밀면 오래 뒤엔 그 각진동수로 따라갑니다. 고유진동수에 가까우면 진폭이 커지는 공명입니다. 타코마 다리와 깨진 유리 이야기가 이 직관입니다. 감쇠가 있으면 공명 봉우리가 낮고 넓어집니다. 라디오 동조와 MRI의 핵스핀도 공명을 고릅니다. 큰 진폭은 선형 모형 밖입니다.

공식

용수철 각진동수

ω = √(k / m), T = 2π / ω

질량이 크고 용수철이 약하면 느림.

기호

k 용수철 상수
m 질량

단진자 (작은 각)

T ≈ 2π √(ℓ / g)

θ≪1 rad. 질량이 빠집니다.

기호

ℓ 길이
g 중력가속도

변위

x = A cos(ω t + φ)

A 진폭, φ 초기 위상.

기호

φ 위상 상수

단진동 에너지

E = ½ k A² = ½ m v_max²

마찰이 없으면 보존.

기호

A 진폭

핵심 표

1 Hz	초당 한 주기. ω = 2π f
공명 재해	다리·건물·기계축은 고유진동수를 사용 진동수와 떼어 놓음
Q	대략 에너지/사이클당 손실. 높으면 날카로운 공명