수학

원뿔곡선

포물선·타원·쌍곡선, 이심률, 초점, 궤도 스케치.

기초

자름과 정의

원뿔을 평면에 자르면 원, 타원, 포물선, 쌍곡선이 나옵니다(원뿔의 모선과 평행이면 포물선). 초점–준선 정의: 점과 초점 거리 = e × (점과 준선 거리). e=1 포물선, e<1 타원, e>1 쌍곡선, e=0 원. 직교좌표계에서 이차식 ax²+bxy+cy²+…=0 의 판별식이 종류를 가릅니다. 회전·평행이동으로 표준형으로 가져갑니다.

타원

표준형 x²/a² + y²/b² = 1 (a>b) 에서 장축 2a, 단축 2b, 초점 거리 c=√(a²−b²), 이심률 e=c/a. 두 초점까지 거리의 합이 2a 로 일정합니다. 케플러 1법칙의 궤도 타원이 이 곡선입니다. 원 a=b 는 초점이 중심으로 모인 특례입니다. 매개변수 x=a cos t, y=b sin t 가 그리기에 편합니다.

포물선과 쌍곡선

포물선 y²=4ax 는 초점 (a,0) 과 준선 x=−a. 반사 성질 때문에 자동차 전조등과 포물면 안테나가 이 곡선을 씁니다. 쌍곡선 x²/a² − y²/b² = 1 은 두 초점 거리의 차가 2a. 직각쌍곡선 xy=c² 는 반비례 그래프와 같습니다. 점근선이 멀리서의 뼈대입니다.

극좌표와 궤도

원뿔의 통일 극식은 r = ed / (1 + e cosθ) (또는 분모 1 − e cosθ). 중력의 1/r² 힘 아래 속박 궤도는 e<1 타원, 탈출은 e=1 포물선, 쌍곡선은 e>1. 근일점에서 θ=0 으로 두는 약속이 흔합니다. 이 식은 스케치입니다. 섭동·상대론은 수성 근일점처럼 따로 다룹니다.

공식

이심률

e = c / a (타원·쌍곡선)

타원 e<1, 포물선 1, 쌍곡선 >1.

기호

c 중심–초점 거리
a 장축 반 또는 횡축 반

타원 표준형

x²/a² + y²/b² = 1, b² = a² − c²

a>b 이면 가로로 긴 타원.

기호

b 단축 반

포물선

y² = 4 a x

초점 (a,0), 준선 x = −a.

기호

a 초점 길이

원뿔 극방정식

r = (e d) / (1 + e cosθ)

준선이 극 오른쪽에 있을 때. d 는 극–준선 거리.

기호

e 이심률
θ 진근점각에 해당하는 각

핵심 표

판별식	b²−4ac <0 타원(원), =0 포물선, >0 쌍곡선 (xy항 있는 일반 이차)
지구 궤도 e	약 0.017 — 원에 가까운 타원
반사	타원: 한 초점 → 다른 초점. 포물선: 축에 평행 → 초점