수학

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기댓값, 분산, 정규밀도, 중심극한 한 줄.

기초

기댓값

이산이면 E[X] = Σ x P(X=x), 연속이면 E[X] = ∫ x f(x) dx 입니다. 평균의 확률 버전입니다. 선형성 E[aX+b] = a E[X] + b 가 항상 성립합니다. 독립이면 E[XY] = E[X] E[Y] 입니다. 기댓값이 존재하지 않는 분포(코시)도 있습니다. 표본 평균은 기댓값의 추정으로 씁니다.

분산

Var(X) = E[(X − μ)²] = E[X²] − μ² 입니다. 퍼짐을 제곱 단위로 재고, 표준편차 σ = √Var 가 원래 단위입니다. Var(aX+b) = a² Var(X). 독립이면 합의 분산이 분산의 합입니다. 체비쇼프 부등식은 분포 모양을 몰라도 꼬리 확률을 위쪽으로 가둡니다. 이상치가 있으면 분산이 크게 흔들립니다.

정규밀도

정규(가우스) 밀도는 f(x) = (1/√(2πσ²)) exp(−(x−μ)²/(2σ²)) 입니다. μ 가 중심, σ 가 폭입니다. 종 모양이고 평균·중앙·최빈이 같습니다. 표준정규 Z=(X−μ)/σ 로 표를 읽습니다. ±1σ·±2σ·±3σ 안에 약 68%·95%·99.7% 가 들어갑니다. 많은 측정 오차 모형이 이 곡선을 가정합니다.

중심극한 한 줄

독립·동일 분포이고 분산이 유한하면, 표본 크기 n 이 클수록 표본 평균의 분포가 정규에 가까워집니다. 모분포가 한쪽으로 치우쳐도 n 이 커지면 평균은 종 모양을 향합니다. 이것이 중심극한정리의 교실용 한 줄입니다. 조건·속도와 정확 정리는 확률론 수업으로 미룹니다. 신뢰구간·검정 많은 것이 이 근사에 기대입니다.

공식

기댓값

E[X] = Σ x p(x) or ∫ x f(x) dx

이산 합 또는 연속 적분.

기호

p(x) 확률질량
f(x) 확률밀도

분산

Var(X) = E[X²] − (E[X])², σ = √Var(X)

σ 는 표준편차.

기호

μ E[X]

정규밀도

f(x) = 1/√(2πσ²) · exp(−(x−μ)²/(2σ²))

μ 평균, σ>0 표준편차.

기호

μ 평균
σ 표준편차

표본평균 (CLT 스케치)

X̄ ≈ Normal(μ, σ²/n) (n large)

평균의 분산은 σ²/n 으로 줄어듦.

기호

n 표본 크기

핵심 표

선형성	E[X+Y]=E[X]+E[Y] — 독립이 아니어도 성립
68–95–99.7	정규에서 μ±σ, ±2σ, ±3σ 안의 대략 비율
코시	평균·분산이 없음. CLT 전제(유한 분산) 실패 예