수학

벡터와 공간

벡터, 내적·외적, 평면, 3차원 거리.

기초

벡터

벡터는 크기와 방향을 함께 갖습니다. 덧셈은 성분별, 스칼라배는 늘리거나 뒤집습니다. 위치벡터는 원점에서 한 점까지, 변위는 점과 점 사이입니다. 기저 {i, j, k}에서 a = a_x i + a_y j + a_z k. 단위벡터는 방향만 남기고, 영벡터는 크기가 0입니다. 물리의 힘·속도·전기장이 이 언어를 씁니다.

내적과 외적

내적 a·b = |a||b|cosθ 는 스칼라입니다. 0이면 수직, 일이 W=F·s 로 나옵니다. 외적 a×b 는 |a||b|sinθ 크기의 벡터이고, 오른손으로 둘에 수직입니다. 평행하면 외적은 0, 넓이(평행사변형)와 토크 τ=r×F 에 씁니다. 3차원에서만 익숙한 벡터 외적이 있고, 2차원은 스칼라 “세로 넓이”로 줄입니다.

평면

점 r₀ 을 지나고 법선 n 인 평면은 n·(r − r₀) = 0, 또는 ax+by+cz = d. 두 방향벡터의 외적이 법선을 줍니다. 세 점이 한 평면을 정하려면 한 직선 위에 있으면 안 됩니다. 평행 여부는 법선이 평행한지로 봅니다. 직선과 평면의 교점은 매개식을 평면에 대입해 풉니다.

3차원 거리

두 점 사이는 √((Δx)²+(Δy)²+(Δz)²) — 피타고라스를 한 번 더 쌓은 것입니다. 점과 평면 사이는 |ax₀+by₀+cz₀−d| / √(a²+b²+c²). 꼬인 두 직선 사이는 공통 수선의 길이입니다. 최단 경로는 항상 수선이고, 최적화·그래픽스·역학이 같은 식을 씁니다.

공식

내적

a · b = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z = |a| |b| cosθ

0이면 수직. 투영은 (a·û) û.

기호

θ 두 벡터 사이 각

외적 (성분)

a × b = (a_y b_z − a_z b_y, a_z b_x − a_x b_z, a_x b_y − a_y b_x)

오른손 수직. |a×b| 는 평행사변형 넓이.

평면 방정식

n · (r − r₀) = 0

법선 n, 한 점 r₀. ax+by+cz = d 와 같습니다.

기호

n 법선 벡터
r₀ 평면 위의 한 점

점과 평면 거리

dist = |a x₀ + b y₀ + c z₀ − d| / √(a² + b² + c²)

평면 ax+by+cz = d, 점 (x₀,y₀,z₀).

기호

(x₀,y₀,z₀) 점

핵심 표

단위벡터	â = a / \|a\| (\|a\| ≠ 0)
스칼라 삼중적	a · (b × c) = 평행육면체 부피 (부호 있는)
2점 거리	\|r₂ − r₁\| = √(Δx² + Δy² + Δz²)