수학

푸리에 스케치

주기 함수의 사인 합, 계수, 스펙트럼, 이산 변환 안내.

기초

분해

괜찮은 주기 함수는 상수와 정수배 주파수의 사·코사인 합으로 다시 쓸 수 있습니다. 모서리가 있는 파형도 항을 많이 더하면 비슷해집니다(깁스 현상으로 끝이 울렁입니다). 소리의 배음, 회로의 고조파가 같은 그림입니다. 구간이 유한하면 주기 확장을 가정합니다. 불연속에서 합은 좌우 평균으로 갑니다.

계수

a_n, b_n 은 함수와 사·코사인의 내적(적분)입니다. 우함수는 코사인만, 기함수는 사인만 남는 경우가 많습니다. 복소형 c_n e^{i n ω t} 가 계산에 편합니다. Parseval 항등식은 시간 에너지와 스펙트럼 에너지가 같음을 말합니다. 계수를 자르면 저역 통과와 같습니다.

스펙트럼

막대 스펙트럼은 각 고조파의 크기입니다. 비주기 신호는 푸리에 변환으로 연속 스펙트럼이 됩니다. 윈도우를 씌우면 옆엽이 생깁니다. 샘플링하면 스펙트럼이 주기적으로 반복되어, 나이퀴스트를 넘기면 접힙니다. FFT는 그 이산 합을 빠르게 하는 알고리즘입니다.

파동과 열

현의 파동방정식, 막대의 열방정식은 고유모드가 사인입니다. 초기 모양을 푸리에로 분해하면 각 모드가 자기 주파수로 진동하거나 지수로 식습니다. 경계가 고정이면 사인, 절연이면 코사인이 자주 맞습니다. 이 페이지는 존재 조건을 증명하지 않습니다. PDE 수업의 입구입니다.

공식

실수 푸리에 급수

f(t) = a₀/2 + Σ (a_n cos nωt + b_n sin nωt)

ω=2π/T. 합은 n=1…∞.

기호

T 주기
ω 기본 각진동수

계수

a_n = (2/T) ∫ f(t) cos nωt dt, b_n = (2/T) ∫ f(t) sin nωt dt

한 주기 적분. a₀ 규약은 교과서마다 조금 다름.

복소 계수

c_n = (1/T) ∫ f(t) e^{−i n ω t} dt

c_{−n} = conjugate(c_n) (실수 f).

기호

c_n 복소 진폭

나이퀴스트

f_s > 2 f_max

대역이 f_max 로 제한될 때 접힘을 피하는 샘플률.

기호

f_s 샘플 주파수

핵심 표

깁스	불연속 근처에서 오버슈트가 남아 항을 늘려도 약 9%대
FFT	길이 2ᵏ 가 빠르다. 창 함수를 먼저 곱하는 일이 많음
DC 항	a₀/2 는 평균값